Journal number 4 ∘ Akaki Gabelaia ∘
Dynamics of the Main Characteristics of Work of the Market and their Graphic Illustration on the Basis of Matlab

It is known that within so-called cobweb market model, it is considered that, at the end of each interval the price is defined from a condition of an equality of demand and supply.

More precisely, the model has the form: 

                              

Where D(t) denotes demand on production for a moment t, S(t) – supply of production for the same, P(t) and P(t-1) production prices, respectively for  t and t-1 moments.

At the same time, for all periods, price P(t) is defining from the condition  S(t)=D(t).

Assuming this, the price dynamics equation has the form:

 

 It is well known that presented above model leads to fluctuations around an equilibrium point (in particular, around the equilibrium price).

Unlike it, the scheme of monotonous (consecutive) convergence to an equilibrium point is offered. For example, the appropriate price dynamics equation may have the form:

P(t)=26+1.5.*t.

 The comparative analysis of this scheme with process taking place within cobweb model is carried out. Two and three dimensional graphic illustrations of these processes on the basis of known computer system Matlab are presented.

Keywords:Dynamic Model of Market Operationl Demand and Supply; Monotonic Convergence; Equilibrium Condition.

JEL Codes: E44, G10

 ბაზრის მუშაობის ძირითადი მახასიათებლების დინამიკა და მისი გრაფიკული ილუსტრაცია Matlab-ის ბაზაზე 

სტატიაში, ბაზრის მუშაობის დინამიკური მოდელის ფარგლებში, ნაჩვენებია მის ძირითად მახასიათებელთა დინამიკის აღწერის შესაძლებლობები ცნობილი კომპიუტერული სისტემა Matlab-ის ბაზაზე.ამასთან, შედარების მიზნით, კლასიკური სქემის გარდა, განხილულია წონასწორობის მდგომარეობისკენ მონოტონური კრებადობის სქემაც. მოცემულია ამ პროცესების შესაბამისი 2 და 3-განზომილებიანი გრაფიკული ილუსტრაციები.

საკვანძო სიტყვები: ბაზრის მუშაობის დინამიკური მოდელი; მოთხოვნა და მიწოდება; მონოტონური კრებადობა; წონასწორული მდგომარეობა.

საკითხის დასმა

როგორც ცნობილია, ბაზრის მუშაობის ე.წ. ობობას ქსელისებრი მოდელის ფარგლებში ითვლება, რომ ყოველი დროითი ინტერვალის ბოლოს ხდება ფასის განსაზღვრა მოთხოვნისა და მიწოდებისა ტოლობის პირობიდან გამომდინარე, რაც იწვევს რხევით მოძრაობას წონასწორული მდგომარეობის (კერძოდ, წონასწორული ფასის) ირგვლივ. ამისგან განსხვავებით, საინტერესოა განვიხილოთ ის შემთხვევაც, როცა წონასწორული მდგომარეობისკენ მისწრაფებას აქვს მონოტონური (თანდათანობითი) ხასიათი. სწორედ ბაზრის ფუნქციონირების ფარგლებში მიმდინარე დინამიკური  პროცესების და მისი ალტერანატიული (რეგულირებადი!) ვარიანტის აღწერა და მათი გრაფიკული ილუსტრაციაა ქვემოთ მოყვანილი ანალიზის მიზანი.

ბაზრის მუშაობის ობობას ქსელისებრი მოდელი და მონოტონური კრებადობა წონასწორული მდგომარეობისკენ

განვიხილოთ ბაზრის მუშაობის უმარტივესი დინამიკური  მოდელი, რომელიც ობობას ქსელისებრი მოდელის სახელითაა ცნობილი [1, გვ. 36-37; 2, გვ. 87-93].   

ამ მოდელს აქვს სახე:

                                   სადაც D(t) აღნიშნავს პროდუქციაზე მოთხოვნის სიდიდეს t მომენტისათვის, S(t) - პროდუქციის მიწოდების სიდიდეს t მომენტისათვის, P(t) და P(t-1) კი პროდუქციის ერთეულის ფასს, შესაბამისად,  t და t-1 მომენტისათვის.

როგორც ვხედავთ, მოდელი დინამიკურია, რადგან მასში ცხადი სახით მონაწილეობს დრო.  ბაზრის მუშაობის ობობას ქსელისებრი მოდელის არსი შემდეგია:

ა)  მიწოდება რეაგირებს ფასის ცვლილებაზე გარკვეული დაგვიანებით (ლაგით); “დღევანდელი” მიწოდება S(t), განისაზღვრება ”გუშინდელი” P(t-1), ფასით, ხოლო “დღევანდელი” მოთხოვნა D(t) განისაზღვრება “დღევანდელი”  P(t), ფასით.

a) ამასთან, ყოველი პერიოდის P(t) ფასი დგინდება იმ დონეზე, რომ გათანაბრდეს მოთხოვნა და მიწოდება, ე.ი. S(t)=D(t) პირობიდან.

ამ უკანასკნელიდან, (1)-ს გათვალისწინებით, ვღებულობთ ფასის დინამიკის შემდეგ განტოლებას (მოცემული მოდელის ფარგლებში):

          

ამ განტოლებიდან გამომდინარე, წონასწორული ფასი P_e, რომლისთვისაც P(t)=P(t-1), განისაზღვრება ფორმულით:

               

მაშასადამე, პირობას რომლისთვისაც P(t)→ P_e, როცა t→∞, აქვს სახე:

                                         

ვნახოთ, ახლა როგორ გამოიყურება, (4)-ს შესრულების პირობით, (1) და (2) განტოლებებით აღწერილი პროცესი.

ამისათვის, მოთხოვნისა და მიწოდების გრაფიკები გამოვსახოთ სიბრტყეზე, რომელზეც ჰორიზონტალურ ღერძზე გადაზომილია გარიგებათა რიცხვი (D და S), ხოლო ვერტიკალურ ღერძზე კი პროდუქციის ერთეულის ფასი (P).

ბაზრის მუშაობის ობობას ქსელისებრი მოდელი

 ნახაზი 1

                   

ავაგოთ (5)–(6) განტოლებებით აღწერილი ბაზრის ძირითადი მახასიათებლების, D(t)-ს, S(t)-ს  და P(t)-ს გრაფიკები, P(0)=26 საწყისი პირობით (ცხადია, რომ P(0) უნდა აკმაყოფილებდეს  S(1)=0.4*p(0)-10≥0 პირობას).პროცესი იწყება საწყისი ფასის P(0)-ის შესაბამისი G₀ წერტილიდან, რომელიც მდებარეობს მოთხოვნის გრაფიკზე (როგორც ითქვა, ფასი განსაზღვრავს მოთხოვნის სიდიდეს დროის იმავე მომენტში), საიდანაც პერიოდის ბოლოს გადავდივართ G₁ წერტილზე (რომელიც განსაზღვრავს  P(0)-ის შესაბამის მიწოდების სიდიდეს (ე.ი. S(1)-ს). თავის მხრივ, S(1)=D(1) პირობა განსაზღვრავს P(1)-ფასს, რომელსაც გრაფიკზე შეესაბამება G₂ წერტილი, შემდეგ, ამ ფასიდან გამომდინარე, მიწოდება (S(2)) ფიქსირდება G₃ წერტილის დონეზე, რომლის შესაბამისი მოთხოვნაც (D(2)=S(2)) განსაზღვრავს P(2)-ფასს და ა.შ.

უნდა შევნიშნოთ, რომ |c/a|>1 შემთხვევაში, ობობას ქსელი მიმართული იქნება შიგნიდან გარეთ, ე.ი. პროცესი აღმოჩნდება განშლადი.

ვნახოთ ახლა, თუ როგორ გამოიყურება ბაზრის ძირითადი მახასითებლების დინამიკა გრაფიკულად. განვიხილოთ რიცხვითი მაგალითი.

დავუშვათ, რომ ჩვენს შემთხვევაში (1) მოდელს აქვს სახე:

                        

ამ შემთხვევაში, (2)-დან გამომდინარე, ფასის დინამიკის განტოლება მიიღებს სახეს:

 

გამოვიყენოთ ამ მიზნით ცნობილი კომპიუტერული სისტემის Matlab-ის (“მატრიცული ლაბორატორია”) შესაძლებლობები.

შევადგინოთ პატარა პროგრამა:

p0=26;

for t=1:0.5:30;

S=-10+0.4.*p0;

     p=-0.8.*p0+100;

     D=40-0.5.*p;    

      plot(t,p,'-k');

      hold on;

      plot(t,D,'+r');

      hold on;

      plot(t,S,'-.b');

      p0=p;

end

xlabel('time')

ylabel('demand, supply, price')

legend('price','demand','supply')

შესაბამის გრაფიკებს ექნებათ ნახ. 2-ზე ნაჩვენები სახე 5)–(6) განტოლებებით აღწერილი ბაზრის ძირითადი მახასიათებლების დინამიკის გრაფიკები, P(0)=26 საწყისი პირობით.

ნახაზი 2

  

ვცადოთ ახლა იგივე პროცესის სამგანზომილებიანი წარმოდგენა, სადაც დრო გადაზომილია ვერტიკალურ ღერძზე.

შესაბამის პროგრამას ექნება სახე:

p0=26;

for t=1:100;

     S=-10+0.4.*p0;

     p=-0.8.*p0+100;

     D=40-0.5.*p;    

      plot3(p,D,t,'-r');

      hold on;

      plot3(p0,S,t,'+b');

     p0=p;

end

xlabel('price')

ylabel('demand, supply')

zlabel ('time')

legend('demand','supply')

რომლის შესაბამისი გრაფიკებიც ნაჩვენებია ნახ. 3-ზე.

 (5)–(6) განტოლებებით აღწერილი ბაზრის მუშაობის სამგამზომილებიანი გრაფიკი, P(0)=26 საწყისი პირობით

 ნახაზი 3

 

როგორც ზემოთ მოყვანილი გრაფიკებიდან ჩანს, მოცემულ შემთხვევაში წონასწორული მდგომარეობა საკმარისად სწრაფად მიიღწევა (t=10-ის ფარგლებში).

გარდა ამისა, როგორც ზემოთ მოყვანილი მოდელიდან ჩანს, ბაზრის მუშაობის ობობას ქსელისებრ მოდელს ახასიათებს მნიშვნელოვანი რყევები წონასწორული წერტილის ირგვლივ. (მისი ძირითადი მახასიათებლები ხან მეტია წონასწორულზე, ხანაც ნაკლები (თანაც ყველაფერი ეს ხდება მორიგეობით!)).

ამიტომ, ჩვენი აზრით, გარკვეულწილად საინტერესოა იმ შემთხვევის განხილვა, როცა ასეთ რყევას ადგილი არა აქვს და წონასწორობის მდგომარეობისკენ მისწრაფება მონოტონურ ხასიათს ატარებს.

ასეთი დინამიკის შექმნის მიზნით, განვიხილოთ ისევ(5) სისტემით აღწერილი ბაზრისშემთხვევა, იგივე P(0)=26 საწყისი პირობით, ოღონდ ჩავთვალოთ, რომამჯერად პროდუქციაზე ფასის დინამიკას არ ახასიათებს რყევები და  (6)-ს ნაცვლად Aაღიწერება, მაგ.,

                                                     P(t)=26+1.5.*t,                        (7)

განტოლებით, ე.ი. მონოტონურად იზრდება დროში 1.5-ის ტოლი ბიჯით. ვნახოთ როგორი იქნება ბაზრის ძირითად მახასიათებელთა ქცევა ამ შემთხვევაში.

ავაგოთ როგორც ზემოთ (5), (7) განტოლებებით აღწერილი ბაზრის ძირითადი მახასიათებლების, D(t)-ს, S(t)-ს  და P(t)-ს, გრაფიკები, P(0)=5 საწყისი პირობით (ამასთან გავითვალისწინოთ P(t)≤ P_e პირობა).

შესაბამის პროგრამას ექნება სახე:

pe=(-10-40)/(-0.5-0.4);

tmax=(pe-26)/1.5;

t=0:0.5:tmax;

     p=26+1.5.*t;

D=40-0.5.*(26+1.5.*t);

S=-10+0.4.*(26+1.5.*(t-1));

plot(t,p,'-m',t,D,'+r',t,S,'*b')

hold on;

xlabel('time')

ylabel('price, demand, supply')

legend('price','demand','supply')

ამ პროგრამის ბაზაზე მიღებული გრაფიკი კი ნაჩვენებია ნახ. 4-ზე.

 (5), (7) განტოლებებით აღწერილი ბაზრის ძირითადი მახასიათებლების დინამიკის გრაფიკები, P(0)=26 საწყისი პირობით.

 ნახაზი 4

 

ამასთან, უნდა მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომმოცემულ შემთხვევაში, დროის ბიჯი 0.5-ის ტოლია (ე.ი. 2-ჯერ ნაკლებია იმაზე, რომელსაც ზემოთ ვიხილავდით).

დაბოლოს, ისევე, როგორც ზემოთ, მოდელის კლასიკური ვარიანტის განხილვის შემთხვევაში, შევეცადოთ მოცემული პროცესის სამგანზომილებიან წარმოდგენას, სადაც დრო გადაზომილია ვერტიკალურ ღერძზე.

შესაბამის პროგრამას ექნება სახე:

pe=(-10-40)/(-0.5-0.4);

for t=0:40

   p=26+1.5.*t;

   D=40-0.5.*p;

   p0=26+1.5.*(t-1);

   S=-10+0.4.*p0;

   if  p<=pe

   plot3(p0,S,t,'*b');

   hold on;

   plot3(p,D,t,'-r');           

   end

end

xlabel('price')

ylabel('demand, supply')

zlabel ('time')

legend('demand','supply')

ამ პროგრამის ბაზაზე მიღებული გრაფიკი კი ნაჩვენებია ნახ. 5-ზე (5), (7) განტოლებებით აღწერილი ბაზრის მუშაობის სამგამზომილებიანი გრაფიკი, P(0)=26 საწყისი პირობით.

 ნახაზი 5

 

დასკვნა

ბაზრის მუშაობის ე.წ. ობობას ქსელისებრი მოდელის ფარგლებში ითვლება, რომ ყოველი დროითი ინტერვალის ბოლოს ხდება ფასის განსაზღვრა მოთხოვნისა და მიწოდებისა ტოლობის პირობიდან გამომდინარე, რაც იწვევს იმას, რომ წონასწორობის მიღწევის პროცესში მიმდინარე ფასი აღმოჩნდება დროითი ინტერვალის ბოლოს (თანაც რიგ-რიგობით!)  წონასწორული ფასზე მეტი ან ნაკლები. ამისგან განსხვავებით, ბაზრის მუშაობის იგივე დინამიკური მოდელის ფარგლებში, განიხილება წონასწორულისკენ ფასის მონოტონური (მხოლოდ ქვემოდან ან მხოლოდ ზემოდან) კრებადობის სქემა. მოცემულია როგორც კლასიკური, ისე წონასწორობის მდგომარეობისკენ მონოტონური კრებადობის პროცესების შესაბამისი, 2 და 3-განზომილებიანი გრაფიკული ილუსტრაციები ცნობილი კომპიუტერული სისტემა  Matlab-ის ბაზაზე.

ლიტერატურა:

1.   თ. ობგაძე, ნ. ბიჩენოვა. მათემატიკური მოდელირების კურსი (სოციალურ-ეკონომიკური სისტემები). V ტომი, “ტექნიკური უნივერსიტეტი”, თბილისი, 2012.
2.   М. Кубонива, М. Табата, С. Табата, М. Хасэбэ. Математическая    экономика на персональном компьютере. (Под. ред. М. Кубонива). М. «Финансы и статистика», 1991.

---